جدی ترین بازی در ریاضیات

بیایید سطر سوم و باز هم در سمت راست فرضی عدد یک سمت راستی فوق ، عدد یک را بگذارید و در سمت چپ فرضی عددپ یک سمت چپ نیز باز هم عدد یک را بگذارید ( به این ترتیب انگار دارید روی دو ضلع یک مثلث فرضی و از بالا به پایین ، عدد یک را قرار می دهید ) . صبر کنید ، کارمان در سطر سوم تمام نشده است . وقتی در سمت راست و چپ فرضی عدد یک را گذاشتید ، حاصل جمع دو عدد یک در سطر دوم ( که طبیعتاً عدد 2 حاصل می شود ! ) را در سطر سوم و درست در وسط فرضی دو عدد یک ِ سطر دوم بنویسید ( انگار که می خواهید جمع دو عدد سطر دوم را در سطر پایین و در وسط دو عدد فوق بنویسید ) . تا اینجا در سطر اول ، تعداد یک عدد یک ، در سطر دوم تعداد دو عدد یک و در سطر سوم به ترتیب اعداد یک ، دو و یک را خواهید داشت . بدین منوال در سطر چهارم هم اگر در دو طرف فرضی اعداد یکِ کناری ، باز هم عدد یک گذاشته و جمع هر دو عدد سطر بالایی را در سطر پایین و در وسط فرضی آنها بنویسید ، به ترتیب اعداد یک ، سه ، سه و یک را خواهید داشت . اکنون اعداد سطر پنجم نیز به راحتی قابل محاسبه است که نتیجه آن ، اعداد یک ، چهار ، شش ، چهار و یک و برای سطر ششم نتیجه حاصله اعداد یک ، پنج ، ده ، ده ، پنج و یک خواهد بود . این کار را می توان تا هر جا که صفحه شما خط دارد و برای صفحات بعد تا بینهایت بار تکرار کنید که فقط نتایج حاصله عوض می شود ولی منطق هر سطر مشابه منطق سطر قبلی است .

تا اینجا ، بحث بر سر " بازی در ریاضیات " بود اما نکته مهم آن ، " جدی بودن " این بازی است . برای روشن شدن موضوع ، بسط دو جمله ای زیر ( همان اتحادهایی که در دوره دبیرستان خوانده ایم و بعدها دیده ایم که پایه بسیاری از نظریه ها خصوصاً در ریاضیات و آمار است ) را در نظر بگیرید :

(a+b)⁰ = 1

(a+b)¹ = (1)a + (1)b

(a+b)² = (1)a² + (2) ab + (1)b²

(a+b)³ = (1)a³ + (3) a²b + (3)ab² + (1)b³

(a+b)⁴ = (1)a⁴ + (4) a³b + (6)a²b² + (4)ab³ + (1)b⁴

(a+b)⁵ = (1)a⁵ + (5) a⁴b + (10)a³b² + (10) a²b³ + (5)ab⁴+ (1)b⁵

اعداد داخل پرانتز سمت راست هر تساوی را دوباره با دقت ببینید . آشنا نیستند ؟ اینها همان اعدادی هستند که پشت سر هم در سطور دفترتان یادداشت کرده بودید . جالب است . من که هیچگاه حوصله ندارم نتیجه یک دو جمله ای با توان بالا ( مثلاً نتیجه دو جمله ای با توان 15 ) را از راه ضرب کردن به دست آورم . برای مثال ، در همین اعداد کوچک خودمان ( مانند عدد 5 ) محاسبه حاصل دو جمله ای از راه ضرب مستقیم به صورت زیر به دست می آید :

(a+b)5 = (a+b)*(a+b)* (a+b)* (a+b)* (a+b)

= (a*a*a*a*a) + (a*b*b*b*b) + (a*a*b*a*a) + (b*a*a*a*a) + … + (b*b*b*b*b)

که در نتیجه تعداد 32 عدد از این پرانتزها در طرف راست معادله ظاهر می شود . خوب یک راه ساده تر اینست که از اول همان کار آخر را بکنیم ، یعنی وقتی می دانیم که در آخر حتماً تعداد ( برای مثال ) 10 عدد از عبارت a²b³ را خواهیم داشت ، از همان اول به جای عبارت a²b³+a²b³+a²b³+a²b³+a²b³+a²b³+a²b³+a²b³+a²b³+a²b³می نویسیم 10a²b³ و همین طور است برای سایر جملات . پس با این " بازی " مشخص می شود که هر گاه در محاسبات پیچیده ریاضی در شرایط بسط دو جمله ای نیاز به محاسبات فراوان و نفس گیر بود ، از همین راه ساده می توان به جواب رسید . در حالت کلی برای عبارت فرضی  (a+b)ⁿخواهیم داشت :

(a+b)ⁿ = ?aⁿ + ?a^(n-1)b + ? a^(n-2)b² + ?a^(n-3)b³ + … + ?a²b^(n-2) + ?ab^(n-1) + ? bⁿ

که فقط باید به جای علامتهای سوال ، ضرایب مربوطه را از سطر (n+1) اُم همان دفتری که بازی خود را در آن انجام دادیم بگذاریم . به همین سادگی .

توضیح تکمیلی این که با ردیف کردن اعداد در بازی خودمان ( که منجر به پاسخ روشن و ساده به یک سوال جدی و مهم در ریاضیات شده است ) به یک شکل مثلث مانند می رسیم که حدوداً نهصد سال پیش حکیم عمر خیام آن را کشف کرد و به آن " مثلث خیام " می گفتند ولی با کشف مجزای آن توسط سایر دانشمندان ( مانند یانگ هویی چینی در هشتصد سال پیش ، تارتالیای ایتالیایی در پانصد سال پیش و پاسکال در چهارصد سال پیش ) نامهای مختلفی به خود گرفته است که مشهورترین آن ، مثلث خیام - پاسکال است . این مثلث اساساً در نظریه بسط دو جمله ای ( برای استفاده در بسیاری از زمینه ها از جمله مبحث ترکیب در نظریه اعداد ، نظریه سرپینسکی در سیستمهای دینامیک و توزیع توابع احتمال در آمار ) کاربرد داشته و ضمناً دارای خواص بیشماری از جمله خاصیت ضرب صلیبی ، نظریه فانگ در هندسه ، نظریه دنباله ها و بویژه دنباله فیبوناچی می باشد که این مورد اخیر ( دنباله فیبوناچی و اعداد حاصل از این دنباله ) حدوداً هشتصد سال پیش توسط ریاضیدان شهیر ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی طراحی شده و دارای کاربردهای فراوانی در نجوم ( شناخت حرکات کهکشانهای مارپیچ ) ، محیط زیست ( حرکات گردبادها ) ، گیاه شناسی ( چینش دانه های روی گل آفتابگردان ) و حتی اقتصاد ( تحلیل تکنیکال در برابر تحلیل بنیادی در بازار بورس ) و بسیاری زمینه های دیگر است که هر کدام به شاخه ها و مباحث دیگری وارد خواهد شد . ظاهراً موضوع خیلی جدی تر از آنست که تصور می شد .